Teorema de Fermat ♥
► El enunciado del último Teorema de Fermat (1601-1665) quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría (150 A.C.) traducida al latín por Claude Gaspar Bachet (1581-1638) publicado en 1621. Este libro, con las numerosas notas marginales de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Clemente Samuel. El enunciado del teorema dice que la ecuación:
no tiene soluciones enteras para n>2. Fermat afirma que tenia una demostracion, pero se exime de darla argumentando que el margen es demasiado estreho como para demostrarla .
Demostracion de teorema de Fermat por Wiles♥
Recientemente, en 1995, Wiles demostró este teorema. Para entender mejor este teorema veamos el caso n=2, para el cual existen soluciones enteras.
 | (2) |
Hagamos cuatro filas de números (esquema 1). En la primera van los números naturales 1,2,…; en la segunda sus cuadrados 1, 4, 9, …; en la tercera la diferencia entre los cuadrados vecinos 3, 5, 7, …; en la cuarta las diferencias de las diferencias 2, 2, …
Esquema 1.
Los elementos de la segunda fila se obtienen sumando al cuadrado la diferencia, que es la serie de números impares, y se obtiene el cuadrado siguiente. Si nos fijamos en el número 25=(5)2 vemos que se tiene:
| 144 + 25 = 169 (12)2 + (5)2 = (13)2 | (3) |
Es fácil generalizar esta fórmula obteniéndose:
 | (4) |
que da una serie de soluciones enteras a la ecuación (2). La obtención de soluciones enteras en forma matemática y experimental puede hacerse con un computador.
En la serie de cuadrados 4, 9, …, se busca para uno cualquiera de los cuadrados si el menor tiene alguno que sumado al primero da el cuadrado elegido. Por ejemplo, para (5)2 = 25, tenemos:
| 1 + 4 = 5 | 4 + 9 = 13 | 9 + 16 = 25 |
| 1 + 9 = 10 | 4 + 16 = 20 | 9 + 25 = 34 |
| 1 + 16 = 17 | 4 + 25 = 29 | |
| 1 + 25 = 26 |
Esquema 2
Solamente se obtiene el caso (3)2 + (4)2 = (5)2 = 9 + 16 = 25. Se ve cómo fácilmente puede obtenerse los casos posibles para un cuadrado cualquiera. El caso general, es decir, la solución de la ecuación (2) cuando x, y, o z no tienen un divisor común es la siguiente:
 | (5) |
u y v son números primos entre sí; uno de ellos es par y el otro impar. Si x, y, z tuvieran un divisor común, la ecuación podría escribirse como sigue:
 | (6) |
En tal caso, podría obtenerse una solución x, y, z, que conforman una solución reducida.
La sucesión de los números primos:
| 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … | (7) |
puede obtenerse fácilmente con el método de la criba de Eratóstenes (275-194 A.C.).
Usando la sucesión (7) y las fórmulas (5) obtenemos la sucesión de soluciones reducidas:
| x = 3 | y = 4 | z = 5 | |
| x = 5 | y = 12 | z = 13 | |
| x = 15 | y = 8 | z = 17 | |
| x = 7 | y = 24 | z = 25 | |
| x = 21 | y = 20 | z = 29 | |
| x = 9 | y = 40 | z = 41 |
